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- 發(fā)布日期：2018-10-13
我在國內(nèi)上中學的時候，150分的數(shù)學考試，最低考過27分。
27分大家知道是什么概念嗎？我們那時候考試用的是答題卡，27分就相當于把這個答題卡放到地上，然后踩兩腳，把鞋印放到機器里——估計這樣出來的分數(shù)也不止27分。
我考27分那次，是我們班的倒數(shù)第三名。還有兩個比我更差的，我們?nèi)齻€人現(xiàn)在還是很好的朋友。那兩個人，倒數(shù)第二的考了26分，我以一分險勝。他現(xiàn)在在美國一個世界500強的公司擔任副總裁級的高管。考倒數(shù)第一的那個人考了9分，9分啊，如果我是兩個鞋印，他就只能是大半個鞋印了。這個人后來考上了英國的牛津大學，現(xiàn)在是全球知名的經(jīng)濟學家。
所以，如果孩子現(xiàn)在數(shù)學成績不好，我們不用太焦慮，它代表不了什么，既不代表孩子不聰明，也不代表孩子學習能力不好，有一種可能，就是孩子所接受的數(shù)學教育，有問題。
別人都用計算器，只有我用草稿紙
先和大家分享我的一個故事。
那是我在英國讀研究生的時候，剛?cè)雽W沒多久，老師在黑板上講一道題，有一個7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結(jié)果引來全班一片驚嘆聲。包括老師在內(nèi)都用特別崇拜的眼光看著我，仿佛看到數(shù)學之神了。
英國一直沒有乘法表和乘法口訣。2015年，英國前首相卡梅倫和教育部長摩根兩個人曾經(jīng)想過在中小學生中推廣乘法表和乘法口訣，結(jié)果遭到了媒體和學生家長的一致反對。
特別巧，沒過幾天我們就有一個測驗，我是從來沒有如此期待過數(shù)學考試，十多年來從來沒有當過數(shù)學的好學生，終于有這個機會了，尤其還是在國外，終于有了為國爭光的機會。
到了考試那一天，老師把考題發(fā)下來，然后我發(fā)現(xiàn)一個特別奇怪的事，我所有的同學第一個動作就是從書包里拿出科學計算器，當時我就特別懵，因為我在國內(nèi)上學的時候，計算器是不能在考試中用的。但是在英國學校里，計算器是一個必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書包里拿出計算器，而全班只有我從書包里拿出來一疊稿紙。
最后的結(jié)果，可想而知，全班只有我沒有答完題目，因為別人都是只要知道方法了，他們就可以用計算器非常快地算出結(jié)果，而我把大量的時間都浪費在了計算過程上。
學數(shù)學，應該像玩游戲、看電影
于是我開始反思，數(shù)學到底學什么？我們?yōu)槭裁匆獙W數(shù)學？數(shù)學真的跟現(xiàn)實生活息息相關嗎？我們學數(shù)學到底學的是什么？
為什么國外學?？梢匀萑涛覀冋J為的特別低級的運算無能，但是他們卻依然能夠培養(yǎng)出那么多優(yōu)秀的數(shù)學家？我們學數(shù)學究竟是學一種運算技巧，還是學一種數(shù)學思維？我反思的結(jié)論是：數(shù)學應該是一場游戲。
我們把數(shù)學公式背得很熟練，把幾何原理背得很熟練，然后以此不斷地做各種各樣的題，這就相當于我們玩游戲的時候，不讓你體驗游戲的過程，只告訴你，摁前進，摁五下，然后跳，往左邊走，然后打，最后到了關卡……你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然后一遍一遍去訓練，就可以完成任務。
已經(jīng)知道了所有公式，即使運用得再熟練，也無助于我們體驗游戲的精髓。我們需要具備的，是獨立的思考、有創(chuàng)造力的思考，而不是“被訓練”。就如高斯所說：“我們需要的是想法，而不是符號。”
學數(shù)學，還應該像看電影、看書。比如，我們看《西游記》，不告訴你唐僧為什么取經(jīng)，他經(jīng)歷了什么事情，就告訴你唐僧經(jīng)過了九九八十一難，最后取回了真經(jīng)，你要記住這八十一難都是什么，這個順序還不能亂，最后考試的時候，你要把每一難的名字答上去，就算通過了。
這樣的閱讀是正確的嗎？如果這樣看書是不對的，為什么這樣學數(shù)學就是對的呢？
巧解數(shù)學更考驗創(chuàng)造力
既然數(shù)學是一種游戲，那么，我們完全可以在想象的世界里去制定規(guī)則，考驗自己的創(chuàng)造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過這道題：
“籠子里有雞和兔若干只， 籠子里有25個頭和70只腳。問：兔子和雞各有多少只？”
我不知道大家是怎么做的題，我就記得我學這道題時，是在第一次學一元一次方程式，老師告訴我標準答案是：
我們假設兔的數(shù)量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
雞＝25－10＝15（只）
這么做對不對呢？肯定是對的。那這道題這么做好玩嗎？肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實有特別多的證法，我給大家舉一個特別好玩的例子。
你想象一個世界，這一籠子的兔子和雞就在這個想象的世界里，你站在這個籠子前面，一聲令下，所有的動物都抬起一只腳，這個時候還有多少只動物站著？
70－25＝45只，還有45只腳站著，你再一聲令下，所有動物又都抬起一直腳站著，這時候還有45－25＝20只腳站著，但是雞已經(jīng)一屁股坐地上了，因為雞只有兩只腳全抬起來了，那站著的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。
這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法，我們還有一種解法：
假設雞也有四只腳，那25個動物里面應該有100只腳，那為什么只有70只腳呢？因為有30個（100－70＝30）翅膀沒有算做腳嘛！
那30個翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。
我們再舉個例子。這是一個矩形，就是一個長方形，長方形里面有一個三角形，問題就是：這個綠色的三角形面積和旁邊藍色三角形面積的比是多少？
正常來說我們的標準答案是：
三角形的面積＝1／2×底×高
矩形面積＝底×高
這么一算，矩形內(nèi)三角形內(nèi)和三角形外的面積比是1：1
這么解對不對呢？肯定對！那這么解好不好玩呢？肯定不好玩。
我們來說另外一種解法，還是放到我們想象的世界里：
把它想象成一張紙，我們從三角形頂點向下畫一條線，把它撕開，它變成了兩個方形。
每一個方形都被對角線分割成了一模一樣的兩個部分，也就是每一個方形里面綠色和藍色部分的面積都是一樣的，他們合起來的面積也是一樣的，也是1：1。
我們可以不知道那些公式、定理，但在想象的世界里，把這些東西做得很有意思。這就是數(shù)學的意義，這就是數(shù)學訓練我們的真正的目的——不是訓練什么計算能力，而是訓練一種數(shù)學思維。
從數(shù)學角度來說
減肥是不可能的
那么，什么是“數(shù)學思維”呢？
百度對數(shù)學思維的概念是這樣：數(shù)學思維是數(shù)學的思考問題和解決問題的思考形式，也就是能夠用數(shù)學的觀點去思考問題和解決問題的能力，比如轉(zhuǎn)化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數(shù)/映射的思想等等。
說得對，但不好懂。我怎么理解數(shù)學思維的呢？數(shù)學思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個世界，然后用嚴謹?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個答案，是一種高度抽象并解決問題的能力。
數(shù)學思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個世界的另外一種眼光。有的時候它可能跟我們對這個世界的直覺理解會比較大的的區(qū)別。
我舉個例子——我們知道，自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數(shù)
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數(shù)
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數(shù)
但大家覺得，自然數(shù)、偶數(shù)和奇數(shù)這三種數(shù)，哪個數(shù)的數(shù)目多？
我們從直覺上感覺，偶數(shù)和奇數(shù)組合成了自然數(shù)，自然數(shù)自然比它們多，但是從數(shù)學角度來說，它們?nèi)齻€數(shù)是一樣多的，因為他們?nèi)齻€的數(shù)目都是無窮。
我們再舉個例子。一個屋子里有23個人，他們有兩個人的生日是同一天的可能性大不大？
直覺來說，我們出去坐公交車、去機場等經(jīng)常會碰見很多人，但我們都不會覺得在這么多人里面會有兩個人的生日一樣。但從數(shù)學的角度來說，在23個人的這個人群里，有兩個人的生日是同月同日的概率超過50%。
為什么？因為我們把每一個人的生日和另外22個人作對比，那它就是有253次對比的機會，在這253次對比中出現(xiàn)相同的概率是非常高的，這個被稱為“生日悖論”。在計算機里面呢，有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來的。
我再舉個悖論例子——減肥，從某種數(shù)學的角度來說，減肥這個事是不可能的。因為想要減掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個是無窮的對折，但人無法減掉一個無窮的數(shù)，所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠都追不上。為什么？因為兔子永遠要到達烏龜之前到達的那一個點，那兔子只要到達那一個點，那烏龜就又往前移動了，所以兔子永遠都無法追上烏龜。
我們知道這個在現(xiàn)實生活中是不可能的，但大家想想，這一個一個的著名“悖論”，就是數(shù)學家在玩的一個一個游戲。如果我們學數(shù)學是希望“有用”，那我告訴大家，你只要學會加減法，會用計算器就可以了。
但如果我把每一個數(shù)字都看成游戲中的一個元素，忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜歡的方法去求證問題，然后不斷試錯，我們就能鍛煉起來數(shù)學思維。
玩真正的游戲?qū)τ谔嵘龜?shù)學思維也大有裨益，比如象棋、圍棋、桌游。我曾親眼見到了一個十歲的孩子在玩數(shù)學推理的桌游，名字叫“達芬奇密碼”，把兩個二十八九歲、有碩士學位的成年人打得大敗。
而如果，我們要強調(diào)數(shù)學到底在我們現(xiàn)實中有什么意義，那可以說，數(shù)學思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來看這個世界。最起碼，它能讓我們少上一些當，能讓我們看穿一些初級騙局。
文章來源 | 妙趣數(shù)學
圖片來源 | 網(wǎng)絡
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